Строго говоря линейных систем в природе не существует, все реальные системы нелинейны. Нелинейностью характеристик обладают различные датчики, детекторы, дискриминаторы, усилители, аналого-цифровые и цифро-аналоговые преобразователи, устройства управления и исполнительные устройства.

Общей теории анализа нелинейных систем нет. Учеными разработаны различные методы анализа нелинейных систем, которые позволяют решать задачи анализа при определенных условиях и ограничениях.

Дадим характеристику наиболее распространенным методам анализа нелинейных систем.

Метод фазовой плоскости. Этот метод называют также методом фазовых портретов или фазовых пространств. Этот метод позволяет наглядно с помощью графических построений проанализировать поведение нелинейных систем, описываемых нелинейными дифференциальными уравнениями не выше второго (третьего) порядка.

Метод кусочно-линейной аппроксимации. В этом методе используется кусочно-линейная аппроксимация характеристики нелинейного элемента, система анализируется как линейная при различных значениях сигналов, а затем результаты анализа «сшиваются». Метод отличается высокой трудоемкостью анализа и невысокой точностью результатов, особенно в точках «сшивания».

Метод гармонической линеаризации. Этот метод применяется в тех случаях, когда после нелинейного элемента включен линейный фильтр нижних частот, а входное воздействие гармоническое.

Метод статистической линеаризации. Этот метод применяется в тех случаях, когда в качестве входного сигнала действует стационарный случайный процесс. В этом методе реальный нелинейный элемент заменяется на такой линейный элемент, на выходе которого математическое ожидание и дисперсия процесса такие же, как и на выходе реального нелинейного элемента. Способы определения параметров эквивалентного линейного элемента могут быть различными.

Метод марковских процессов. Этот метод используется при нестационарных случайных входных сигналах, но аналитическое решение удается найти только для систем не выше второго порядка.

Метод моделирования на ЭВМ. Этот метод претендует на универсальность, он не имеет принципиальных ограничений на характер нелинейности и порядок системы. В настоящее время это наиболее распространенный метод анализа нелинейных систем, единственным недостатком метода является отсутствие каких-либо аналитических результатов анализа (в виде формул).

Практически все системы управления, строго говоря, являются нелинейными, т.е. описываются нелинейными уравнениями. Линейные системы управления являются их линейными моделями, которые получаются путем обычной линеаризации - линеаризации, состоящей в разложении нелинейных функций в ряд Тейлора и отбрасывании нелинейных слагаемых. Однако такая линеаризация не всегда возможна. Если нелинейность допускает обычную линеаризацию, то такая нелинейность называется несущественной. В противном случае нелинейность называется существенной. Существенными нелинейностями обладают всякого рода релейные элементы. Даже в тех случаях, когда обычная линеаризация возможна, часто на конечном этапе исследования может потребоваться рассмотрение исходной нелинейной модели.

Нелинейной системой автоматического регулирования называют такую систему, которая содержит хотя бы одно звено, описываемое нелинейным уравнением.

Виды нелинейных звеньев:

звено релейного типа;

звено с кусочно-линейной характеристикой;

звено с криволинейной характеристикой любого очертания;

звено, уравнение которого содержит произведение переменных или их производных и другие их комбинации;

нелинейное звено с запаздыванием;

нелинейное импульсное звено;

логическое звено;

звенья, описываемые кусочно-линейными ДУ, в том числе с переменной структурой.

На рис. 2.1 представлены релейные характеристики разных видов:

характеристика идеального реле (а);

характеристика реле с зоной нечувствительности (б);

характеристика реле с гистерезисом (в);

характеристика реле с зоной нечувствительности и гистерезисом (г);

характеристика квантования по уровню (д).

На рис. 2.2 представлены кусочно-линейные характеристики:

кусочно-линейная характеристика с насыщением (а);

кусочно-линейная характеристика с зоной нечувствительности и насыщением (б)

кусочно-линейная характеристика с зоной нечувствительности (в);

люфт (характеристика звена с люфтом) (г);

диодная характеристика (д);

кусочно-линейная характеристика с гистерезисом и насыщением (е).

Различаются статические и динамические нелинейности. Первые представляются в виде нелинейных статических характеристик, вторые – в виде нелинейных дифференциальных уравнений.

Привод регулирующего органа, каким бы он ни был (электрическим, гидравлическим или пневматическим) всегда имеет, во-первых, зону нечувствительности в начале координат; во-вторых, зону насыщения по краям. Кроме того, может иметь место еще гистерезис. Также существуют приводы с постоянной скоростью, относящиеся к звеньям релейного типа.

Зона нечувствительности выражается тем, что двигатель имеет определенный минимальный ток трогания, до достижения которого двигатель будет неподвижен.

ГИСТЕРЕЗИС (от греч. hysteresis - отставание, запаздывание), явление, которое состоит в том, что физ. величина, характеризующая состояние тела (напр., намагниченность), неоднозначно зависит от физ. величины, характеризующей внешние условия (напр., магнитного поля). Г. наблюдается в тех случаях, когда состояние тела в данный момент времени определяется внешними условиями не только в тот же, но и в предшествующие моменты времени. Неоднозначная зависимость величин наблюдается в любых процессах, т. к. для изменения состояния тела всегда требуется определённое время (время релаксации) и реакция тела отстаёт от вызывающих её причин.

Нелинейные системы по сравнению с линейными обладают рядом принципиальных особенностей. В частности, такими особенностями является следующее:

Не выполняется принцип суперпозиции, и исследование нелинейной системы при нескольких воздействиях нельзя сводить к исследованию при одном воздействии;

Устойчивость и характер переходного процесса зависят от величины начального отклонения от положения равновесия;

При фиксированных внешних воздействиях возможны несколько (а иногда и бесконечное множество) положений равновесия;

Возникают свободные установившиеся процессы, которые в линейных системах невозможны (например, автоколебания).

Универсальных аналитических (математических) методов исследования нелинейных систем нет. В процессе развития теории автоматического управления были разработаны различные математические методы анализа и синтеза нелинейных систем, каждый из которых применим для определенного класса систем и задач. Наиболее широко используемыми методами исследования нелинейных систем являются:

Метод фазовой плоскости;

Метод функций Ляпунова;

Метод гармонической линеаризации (метод гармонического баланса) ;

Методы исследования абсолютной устойчивости.

Любое исследование более или менее сложных нелинейных систем, как привило, заканчивается математическим моделированием. И в этом отношении математическое моделирование является одним из универсальных (неаналитических) методов исследования.

Фазовая плоскость

Если уравнения системы управления представлены в нормальной форме, то вектор состояния системы однозначно определяет ее состояние. Каждому состоянию системы в пространстве состояний соответствует точка. Точка, соответствующая текущему состоянию системы, называется изображающей точкой. При изменении состояния изображающая точка описывает траекторию. Эта траектория называется фазовой траекторией. Совокупность фазовых траекторий, соответствующая всевозможным начальным условиям, называется фазовым портретом.

Наглядно фазовую траекторию и фазовый портрет можно представить в случае двухмерного фазового пространства. Двухмерное фазовое пространство называется фазовой плоскостью.

Фазовая плоскость - это координатная плоскость, в которой по осям координат откладываются две переменные (фазовые координаты), однозначно определяющие состояние системы второго порядка.

Метод анализа и синтеза системы управления, основанный на построении фазового портрета, называют методом фазовой плоскости.

По фазовому портрету можно судить о характере переходных процессов. В частности, по фазовой траектории можно построить без расчетов качественно временную характеристику - кривую зависимости х от времени, и, наоборот, по временной характеристике можно качественно построить фазовую траекторию.

В качестве примера сначала по фазовой траектории построим временную характеристику, а затем по временной характеристике - фазовую траекторию. Пусть задана фазовая траектория (рис. 2.4, а).

Отметив на ней характерные точки (начальную точку, точки пересечения с осями координат), нанесем соответствующие им точки на временной плоскости и соединим их плавной кривой (рис. 2.4, б).

Пусть теперь задана временная характеристика (рис. 2.5, а). Отметив на ней характерные точки (начальную точку, точки экстремума и точки пересечения с временной осью), нанесем соответствующие им точки на фазовую плоскость и соединим их плавной кривой

(рис. 2.5,6).

Фазовые портреты нелинейных систем могут содержать тип особой кривой - изолированные замкнутые траектории. Эти кривые называются предельными циклами . Если изнутри и снаружи фазовые траектории сходятся к предельному циклу (рис. 2.8, а),

то такой предельный цикл называется устойчивым предельным циклом. Устойчивому предельному циклу соответствует асимптотически орбитально-устойчивое периодическое движение (автоколебания).

Если фазовые траектории изнутри и снаружи предельного цикла удаляются от него (рис. 2.8,6), такой предельный цикл называется неустойчивым предельным циклом. Периодический процесс, соответствующий неустойчивому предельному циклу, нельзя наблюдать.

Если движение начинается внутри такого предельного цикла, то процесс сходится к положению равновесия. Если движение начинается вне такого предельного цикла, то процесс расходится. Неустойчивый предельный цикл служит границей области притяжения, или границей устойчивости положения равновесия (начала координат).

Возможны два предельных цикла (рис. 2.8, в, г). Внутренний пре-

предельный цикл на рис. 2.8, в устойчив, и ему соответствуют автоколебания, а наружный предельный цикл неустойчив и является границей области автоколебаний: автоколебания возникают при любых начальных отклонениях, не выходящих за наружный предельный цикл.

Наружный предельный цикл на рис. 2.8, г является устойчивым и соответствует автоколебаниям, а внутренний предельный цикл является неустойчивым и является границей области притяжения положения равновесия. В системе с таким фазовым портретом автоколебания возникают при достаточно большом отклонении системы от положения равновесия - отклонении, выходящем за пределы внутреннего предельного цикла. Если движение системы начинается внутри неустойчивого предельного цикла, то она приближается к положению равновесия.

Метод гармонической линеаризации

Метод гармонической линеаризации, или метод гармонического баланса, первоначально был разработан для исследования периодического режима. Однако в дальнейшем он стал использоваться также для анализа устойчивости и синтеза нелинейных систем.

Основная идея метода состоит в следующем. Управляемые системы (объекты), как правило, обладают свойством фильтра низких частот: при возникновении периодических режимов они не пропускают или пропускают с большим ослаблением вторые и более высокие гармоники. И суть метода гармонической линеаризации состоит в описании нелинейного звена линейным уравнением, которое получается при пренебрежении (отбрасывании) указанными гармониками в разложении нелинейной функции в ряд Фурье.

Метод гармонической линеаризации является приближенным методом. Однако его достоинством является то, что он применим для систем любого порядка, в отличие от метода фазовой плоскости, который может быть эффективно применен только к системам 2-го порядка.

Метод Гольдфарба (метод исследования симметричных автоколебаний)

Метод функций Ляпунова

Метод исследований, основанный на построении функции Ляпунова, включая прямой метод Ляпунова, стали называть методом функций Ляпунова.

Метод исследования абсолютной устойчивости

Впервые задача об абсолютной устойчивости была рассмотрена А. И. Лурье, и ее иногда называют задачей Лурье. Им был разработан метод решения этой задачи, основанный на построении функции Ляпунова. В 1961г. румынский ученый В.М. Попов опубликовал работу, в которой изложил частотный метод решения этой проблемы. Это повлекло за собой появление большого потока работ в этом направлении.

Для заданий:

Связь переходного процесса и фазового портрета:

(Бесекерский-Попов стр 595 много всего)

Критерий устойчивости Попова В.М.

(румынский ученый)

Это частотный метод исследования устойчивости НЛ САУ с однозначной нелинейностью, удовлетворяющей условию

Рассматривается устойчивость положения равновесия

Достаточные условия абсолютной устойчивости таких систем сформулированы Поповым В.М.

1.Вводится передаточная функция

Предполагается, что
соответствует асимптотически устойчивой системе (проверяется по любому из критериев устойчивости).

2.Находится частотная характеристика
.

3.Строится видоизмененная частотная характеристика
,

которая определяется соотношением

Re
=Re
,

Im
= .

4.На комплексной плоскости строится
.

Критерий Попова:

Если через точку
на действительной оси можно провести прямую линию так, чтобы видоизмененная АФЧХ
лежала по одну сторону от этой прямой, то замкнутая НЛ САУбудет абсолютно устойчива.

Пример. Исследовать абсолютную устойчивость НЛ САУ со структурной схемой рис.1, если

Так как все в характеристическом уравнении 2-го порядка больше нуля, то
- асимптотически устойчива и, следовательно, условие (1) критерия устойчивости Попова выполняется.

Re
=Re
=

Im
=Im
=

Строим АФЧХ
.

Асимптотическая устойчивость для специального вида

нелинейных характеристик

1.Неоднозначная нелинейная характеристика

Состояние покоя будет абсолютно устойчивым, если

1.
соответствует асимптотически устойчивой системе.

2.

2.Система с релейной характеристикой

r =0 . Это частный случай рассмотренной выше характеристики.

Достаточное условие абсолютной устойчивости – вместо условия (2)

3.Нелинейность типа реле

1.
- асимптотически устойчива.

2.Im

Абсолютная устойчивость процессов

Рассмотрим теперь устойчивость не систем стабилизации (номинальный режим – состояние покоя), а случай, когда номинальный режим характеризуется входным сигналом
и выходным сигналом
, которые являютсяограниченными непрерывными функциями времени.

Будем предполагать, что нелинейный элемент имеет вид
, где
- непрерывная однозначная функция, удовлетворяющая условию

т.е. ограничена скорость изменения нелинейной характеристики. Это достаточно жесткое условие.

В этом случае для обеспечения абсолютной устойчивости ограниченного процесса
,
достаточно, чтобы выполнялись условия6

1.
- было асимптотически устойчива.

2.
.

В частном случае, когда r =0

или

Теория, связанная с развитием идей Попова еще не закончена, здесь возможны новые более сильные результаты. Сводка таких результатов на сегодняшний день имеется в книге Наумова «Нелинейные системы автоматического управления».

Приближенные методы исследования нелинейных сау

Метод гармонического баланса

При исследовании НЛ САУ иногда можно наблюдать появление периодических изменений выходной величины у(t ) даже в тех случаях, когда
Если при изучении САУ ограничитьсялинейной моделью с постоянными коэффициентами, то указанное явление (собственные колебания) может иметь место только при наличии в характеристическом уравнении чисто мнимых корней
.

Однако при таком объяснении малое изменение параметров системы «сдвинет» корень с мнимой оси налево или направо и собственные колебания либо затухают либо раскачиваются. На практике же в нелинейных системах периодические колебания выходного сигнала сохраняются при малых изменениях параметров системы.

Такого рода незатухающие колебания объясняются нелинейным характером системы. Они называются автоколебаниями.

Рассмотрим метод гармонического баланса, который позволяет по взаимному протеканию АФЧХ линейной части и и характеристики нелинейного элемента определить наличие или отсутствия автоколебаний.

Рассмотрим одноконтурную систему, в которой выделяется нелинейный элемент

(1)

и линейная часть с передаточной функцией
.

Предполагается:

1.
соответствует устойчивой системе,

2. нелинейная характеристика
- нечетная симметричная, т.е.

,

3.входной сигнал
, т.е. это система стабилизации.

Будем искать выходной сигнал у(t ) в виде

, (2)

где - амплитуда автоколебаний,

- частота автоколебаний.

и надо определить.

Гипотеза о синусоидальном характере у(t ) выглядит произвольной. Однако далее будут приведены условия, при выполнении которых эта гипотеза становится естественной.

Поскольку
,(3)

Пропустим сигнал
последовательно через нелинейный элемент и линейную часть и найдем уравнения, их которых можно будет определить амплитудуи частотуавтоколебаний в НЛ САУ.

Прохождение
через линейный элемент

Так как
- периодическая функция, то сигнал
на выходе нелинейного элемента также будет периодической функцией, но отличной от синусоиды.

Спектр
Спектр

Как известно, любая периодическая функция может быть представлена рядом Фурье:

(4)

Мы предполагаем, что свободный член в формуле (4) равен нулю. Это будет иметь место, например, когда характеристика нелинейного элемента удовлетворяет условию

, т.е это нечетная функция.

Здесь коэффициенты Фурье иопределяются:

,

(5)

Преобразуем (4) , умножив и поделив каждый член в правой части на
(6)

.

Напомним, что

(8)

Таким образом при прохождении сигала
через нелинейный элемент, на выходе нелинейного элемента сигал
содержит множество гармоник, кратных. (см. рисунок выше).

Прохождение сигнала
через линейную часть

Из теории линейных систем мы знаем, что если на вход линейного звена с передаточной функцией
, соответствующей устойчивой системе, подать гармонический сигналто в установившемся режиме на выходе этого звена будет сигнал.

Здесь
- модуль частотной характеристики
в точке,

аргумент
.

Используя эти соотношения, мы можем выписать выражения для
, пропуская по отдельности через линейную часть все составляющие ряда (8) и суммируя затем полученные выражения для

В силу линейности системы такая процедура законна.

Получим, полагая
:

Полученное выражение (9) для
имеет достаточно сложную структуру. Его можно существенно упростить, используягипотезу фильтра.

Изучая частотные характеристики типовых элементарных звеньев, мы видели, что их АЧХ стремятся к нулю при

Гипотеза фильтра состоит в том, что АЧХ в правой части (9) убывает с ростом частоты настолько быстро, что в (9) можно учитывать лишь первый член, соответствующий к=1 , и считать остальные члены пренебрежимо малыми. Другими словами – гипотеза фильтра – это гипотеза о том, что линейная часть САУ практически не пропускает высокочастотные колебания. Поэтому формула (9) (и в этом состоит приближенность метода) упрощается следующим образом:

Таким образом, при замыкании системы в предположении гипотезы фильтра мы получим баланс гармоник (отсюда и название метода – метод гармонического баланса)

Рассмотрим как с помощью метода гармонического баланса определить амплитуду а и частоту автоколебаний.

Введем понятие эквивалентной передаточной функции нелинейного элемента:

(11)

Если
(а это имеет место при однозначных симметричных нелинейных характеристиках), то

(12)

Характеристическое уравнение замкнутой САУ (рис.1) имеет вид:

или частотная характеристика

(13)

(14)

Представим

Тогда уравнение (14) перепишется:

=
(17)

Равенство (14) или (17) является основой графо-аналитического метода определения параметров автоколебаний а и .

На комплексной плоскости строится АФЧХ линейной части

и характеристика нелинейного элемента

Если кривые пересекаются, то в САУ существуют автоколебания.

Частота автоколебаний в точке пересечения кривых по
, а амплитуда- по
.

Рассмотрим подробнее выделенный участок

Мы знаем амплитуду и частоту точек, ближайших к точке пересечения кривых. Амплитуду и частоту в точке пересечения можно определить, например, методом деления отрезка пополам.

Метод гармонической линеаризации

Это очень эффективный приближенный метод определения периодических колебаний в НЛ САУ.

Для применения метода гармонической линеаризации нелинейности необходимо выполнение требования – линейная часть должна обладать свойствами фильтра, т.е. она не должна пропускать высокие частоты.

На практике это требование обычно выполняется.

Пусть имеется нелинейный элемент

(1)

Пусть
(2)

Тогда
(3)

Разложим (1) в ряд Фурье:

Напомним, нелинейная функция F (x ) , разложенная в ряд Фурье, имеет вид:

,

,
,

Тогда ряд Фурье для нашей нелинейности будет иметь вид:

++высшие гармоники (4)

Положим постоянную составляющую

Из уравнения (2):

Из уравнения (3):

Тогда уравнение (4) можно переписать:

,

В уравнении (5) пренебрегаем высокими частотами и в этом приближенность метода.

Таким образом, нелинейный элемент при
заменяется линеаризованным выражением (5), которое при выполнении гипотезы фильтра линейной части принимает вид:

(6)

Эта процедура называется гармонической линеаризацией.

Коэффициенты
и
припостоянных а и . В динамическом же режиме, когда изменяютсяа и , коэффициенты
и
будут изменяться. В этом отличие гармонической линеаризации от обычной. (При обычной линеаризации коэффициент линеаризованного уравненияК зависит от точки линеаризации). Зависимость коэффициентов линеаризации от а и позволяет применить к НЛ САУ (6) методы исследования линейных систем и анализировать свойства НЛ САУ, которые не могут быть обнаружены при обычной линеаризации.

Коэффициенты гармонической линеаризации

некоторых типовых нелинейностей

Релейная характеристика

2.Релейная характеристика с зоной нечувствительности

,
Амплитуда колебаний

3.Релейная характеристика с петлей гистерезиса

,
,

4.Релейная характеристика с зоной нечувствительности и петлей гистерезиса

,

Теперь рассмотрим замкнутую систему.

,

Можно ввести понятие передаточной функции нелинейного элемента

,

.

Тогда характеристическое уравнение замкнутой САУ:

,

или

Когда в замкнутой системе возникают собственные незатухающие колебания постоянной амплитуды и частоты, то коэффициенты гармонической линеаризации становятся постоянными и САУ становится линейной. А в линейной системе наличие периодических незатухающих колебаний говорит о наличии у нее чисто мнимых корней.

Таким образом для определения периодических решений надо в характеристическое уравнение подставить
. Здесь- текущая частота, а- частота автоколебаний.

В этом уравнении неизвестными являются и.

Выделим в этом уравнении действительную и мнимую части.

Введем для частоты и амплитуды искомого периодического решения обозначения
,
.

Получим два уравнения с двумя неизвестными.

Решив эти уравнения, найдем и- амплитуду и частоту периодических решений в НЛ САУ.

С помощью этих уравнений можно определить не только и, но и построить зависимостьи, например, от коэффициента усиления САУК .

Тогда, считая К переменным, запишем:

Задаваясь К , находим и, т.е
и

Можно выбрать К так, чтобы

1. было бы мало,

2. было бы неопасно для САУ,

3.автоколебаний не было бы.

С помощью этих же уравнений можно на плоскости двух параметров (например, Т и К ) построить линии равных значений амплитуды и частоты автоколебаний. Для этого уравнения переписывают:

Задаваясь числовыми значениями , получим
и

По этим графикам можно выбирать Т и К.

Определение устойчивости решений в нелинейных САУ

Автоколебаниям в НЛ САУ должны соответствовать устойчивые периодические решения. Поэтому после нахождения амплитуды и частотыпериодических решений необходимо исследовать их на устойчивость.

Рассмотрим приближенный метод исследования устойчивости периодических решений в НЛ САУ с помощью годографа Михайлова.

Пусть НЛ САУ

,
.
- получена с помощью метода гармонической линеаризации.

Характеристическое уравнение замкнутой системы

Запишем уравнение характеристической кривой (годографа Михайлова), для чего подставим в него
.

- текущее значение частоты вдоль годографа Михайлова,

- частота гармонической линеаризации (автоколебаний).

Тогда для любых заданных постоянных икривая Михайлова будет иметь такой же вид, как и для обыкновенных линейных систем.

При периодических решениях, соответствующих и, годограф Михайлова будет проходить через начало координат (т.к. система находится на границе устойчивости).

Для определения устойчивости периодических решений дадим приращение

Если при
кривая Михайлова займет положение 1, а при

- положение 2, то периодическое решение устойчиво.

Если при
кривая займет положение 2, а при
- положение 1, то периодическое решение неустойчиво.

Все инженерные методы исследования нелинейных систем разделяются на две основные группы: точные и приближенные. К точным методам относится метод А.М.Ляпунова, метод фазовой плоскости, метод точечных преобразований, частотный метод В.М.Попова. Приближенные методы основаны на линеаризации нелинейных уравнений системы с применением гармонической или статистической линеаризации. На практике используют комбинацию различных методов. Следует заметить, что в обозримом будущем имеется необходимость дальнейшего развития теории и практики нелинейных систем.

Рассмотрим следующие методы анализа нелинейных систем:

1) Метод фазовой плоскости. Применяется для исследования нелинейных систем, описываемых дифференциальными уравнениями первого и второго порядков. Состоит в построении и исследовании фазового портрета системы в координатах исследуемой величины и ее производной.

Рассмотрим случай, когда внешнее воздействие равно нулю (U = 0). Движение системы определяется изменением ее координат - X i в функции времени. Значения X i в любой момент времени характеризует состояние (фазу) системы и определяет координаты системы имеющей n – осей и могут быть представлены как координаты некоторой (изображающей) точки М (рис. 10).

Рисунок 10

Фазовым пространством называется пространство координат системы.

С изменением времени t точка М движется по траектории, называемой фазовой траекторией. Если менять начальные условия получим семейство фазовых траекторий, называемых фазовым портретом. Фазовый портрет определяет характер переходного процесса в нелинейной системе. Фазовый портрет имеет особые точки, к которым стремятся или от которых уходят фазовые траектории системы (их может быть несколько).

Фазовый портрет может содержать замкнутые фазовые траектории, которые называются предельными циклами. Предельные циклы характеризуют автоколебания в системе. Фазовые траектории нигде не пересекаются, кроме особых точек, характеризующих равновесные состояния системы. Предельные циклы и состояния равновесия могут быть устойчивыми или не устойчивыми.

Фазовый портрет полностью характеризует нелинейную систему. Характерной особенностью нелинейных систем является наличие различных типов движений, нескольких состояний равновесия, наличие предельных циклов.

Пример

Изобразить фазовые траектории для нелинейной системы с тремя различными нелинейностями - двухпозиционное реле, трехпозиционное реле с зоной нечувствительности (±0,2) и двухпозиционное реле с гистерезисом (±0,1), если линейная часть имеет передаточную функцию

Решение

В соответствии с заданием модель нелинейной системы можно представить в виде рис.11.

Примем для всех нелинейностей величину сигнала на выходе реле ±2.

Рисунок 11 - Модель нелинейной САУ

Тогда уравнения состояния запишутся в виде

Разделив второе из уравнений на первое, получим уравнение фазовой траектории

В зависимости от того, с какой стороны от линии переключения реле находится изображающая точка, решения дифференциального уравнения будут следующие:

справа от линии переключения при x1 > 0 x 1 = 4 ln |x 2 + 10| - 0,4x 2 + c 1 ;

cлева от линии переключения при x1 < 0 x 1 = 4 ln |x 2 - 10| - 0,4x 2 + c 2 ;

для трехпозиционного реле движение изображающей точки в пределах зоны нечувствительности -0,2

где с 1 , с 2 и с 3 - постоянные интегрирования, зависящие от начальных условий.

На рис. 9 изображены фазовые траектории нелинейной САУ с различными нелинейными элементами. Припасовывание или сшивание участков фазовых траекторий происходит по линиям переключений.

Рисунок 12 - Фазовые траектории релейных систем

Анализируя фазовые траектории, можно сделать следующие выводы:

1. при взятых начальных условиях все системы устойчивы. Причем системы с двухпозиционными реле устойчивы "в большом";

2. у систем с двухпозиционными реле наблюдаются устойчивые колебания. Абсцисса предельного цикла определяет амплитуду колебаний А о, а частота может быть определена из ординаты предельного цикла А о ω о;

3. система с трехпозиционным реле с зоной нечувствительности имеет "особый отрезок". Система может после прохождения переходного процесса занять любое значение внутри зоны нечувствительности, как показано на рис.9.

Таким образом, метод фазового пространства является фундаментальным методом исследования нелинейных систем. Исследовать нелинейных систем на фазовой плоскости гораздо проще и удобнее, чем с помощью построения графиков переходных процессов во временной области.

Геометрические построения в пространстве менее наглядны, чем построения на плоскости, когда система имеет второй порядок, при этом применяется метод фазовой плоскости.

2) Метод гармонической линеаризации.

Идея метода гармонической линеаризации принадлежит Н.М. Крылову и Н.Н. Боголюбову и базируется на замене нелинейного элемента системы линейным звеном, параметры которого определяются при гармоническом входном воздействии из условия равенства амплитуд первых гармоник на выходе нелинейного элемента и эквивалентного ему линейного звена. Метод является приближенным и может быть использован только в случае, когда линейная часть системы является фильтром низких частот, т.е. отфильтровывает все возникающие на выходе нелинейного элемента гармонические составляющие, кроме первой гармоники. При этом линейная часть может быть описана дифференциальным уравнением любого порядка, а нелинейный элемент может быть как однозначным, так и многозначным. Метод может быть эффективен для расчета параметров собственных колебаний в системе, используется также для анализа точности при гармоническом задающем воздействии.

В основе метода гармонической линеаризации лежит предположение, что на вход нелинейного элемента подается гармоническое воздействие с частотой ω и амплитудой А, т.е. x = А sinωt. В предположении, что линейная часть является фильтром низких частот, спектр выходного сигнала линейной части ограничивается только первой гармоникой, определяемой рядом Фурье (в этом и заключается приближенность метода, т.к. высшие гармоники выбрасываются из рассмотрения). Тогда связь между первой гармоникой выходного сигнала и входным гармоническим воздействием нелинейного элемента представляется в виде передаточной функции:

Уравнение (1.6) называется уравнением гармонической линеаризации, а коэффициенты q и q" - коэффициентами гармонической линеаризации, зависящие от амплитуды А и частоты ω входного воздействия. Следует заметить. что для статических однозначных коэффициент q"(А)=0. Подвергнув уравнение (1.6) преобразованию по Лапласу при нулевых начальных условиях с последующей заменой оператора p на jω (p = jω), получим эквивалентный комплексный коэффициент передачи нелинейного элемента

W нэ (jω,A) = q + jq" (1.7)

После того, как проведена гармоническая линеаризация, для анализа и синтеза нелинейных САУ возможно применение всех методов, применяемых для исследования линейных систем, в том числе и использование различных критериев устойчивости. При исследовании нелинейных систем на основе метода гармонической линеаризации в первую очередь решают вопрос о существовании и устойчивости периодических (автоколебательных) режимов. Если периодический режим устойчив, то в системе существуют автоколебания с частотой ω 0 и амплитудой А 0 . Рассмотрим нелинейную систему, включающую в себя линейную часть с передаточной функцией

и нелинейный элемент с эквивалентным комплексным коэффициентом передачи (1.7). Расчетная структурная схема нелинейной системы приобретает вид рис.13.

Рисунок 13 - Структурная схема нелинейной САУ

Для оценки возможности возникновения автоколебаний в нелинейной системе методом гармонической линеаризации необходимо найти условия границы устойчивости, как это делалось при анализе устойчивости линейных систем. Если линейная часть описывается передаточной функцией (1.8), а нелинейный элемент (1.7), то характеристическое уравнение замкнутой системы будет иметь вид:

d(p) + k(p)(q(ω,A) + q"(ω,A)) = 0 (1.10)

На основании критерия устойчивости Михайлова границей устойчивости будет прохождение годографа Михайлова через начало координат. Из выражений (1.10) можно найти зависимость амплитуды и частоты автоколебаний от параметров системы, например, от коэффициента передачи k линейной части системы. Для этого необходимо в уравнениях (1.10) коэффициент передачи k считать переменной величиной, т.е. это уравнение записать в виде:

d(jω) + K(jω)(q(ω,A) + q"(ω,A)) = Re(ω 0 ,A 0 ,K) +Jm(ω 0 ,A 0 ,k) = 0 (1.11)

где ω o и A o - возможные частота и амплитуда автоколебаний.

Тогда, приравнивая к нулю действительную и мнимую части уравнения (1.11)

можно построить границу устойчивости (D-разбиение) по интересующему нас параметру k (рис.11).

Рисунок 14 - D-разбиение плоскости параметра К нелинейной САУ

Анализируя рис.14 можно заключить, что в области 1 автоколебания невозможны и критический коэффициент равен к кр, а в области 2 колебания сходятся к величине амплитуды A o и частоты ω o (автоколебательный режим) в зависимости от начальных условий. По графику рис.11 можно выбрать коэффициент передачи k, при котором амплитуда и частота возможных автоколебаний имеет допустимые значения или вообще отсутствует.

Чаще на практике используется графоаналитический метод определения возможных амплитуд и частот автоколебаний в нелинейных системах. В соответствии с критерием устойчивости Найквиста незатухающие колебания в линейной системе возникают в том случае, когда амплитудно-фазовая характеристика разомкнутой системы проходит через точку с координатами . Данное условие является также условием существования автоколебаний в гармонически линеаризованной нелинейной системе (рис.11), т.е.

1 + W лч (jω)*W нэ (jω,A)=0 (1.13)

или W лч (jω)=-1/W нэ (jω,A). (1.14)

Решение уравнения (1.14) относительно частоты и амплитуды автоколебаний можно получить графически, как точку пересечения годографа частотной характеристики линейной части системы Wлч(jω) и годографа обратной характеристики нелинейной части -1/Wнэ(jω,А) (рис. 15). Если эти годографы не пересекаются, то режим автоколебаний в исследуемой системе не существует.

Рисунок 15- Годографы линейной и нелинейной частей системы

Для устойчивости автоколебательного режима с частотой ω 0 и амплитудой А 0 требуется, чтобы точка на годографе нелинейной части М, соответствующая увеличенной амплитуде А 0 +ΔА по сравнению со значением в точке пересечения годографов, не охватывалась годографом частотной характеристики линейной части системы, в противном случае автоколебания неустойчивые. На рис. 15 дан пример расположения годографов для случая, когда в нелинейной системе существуют устойчивые автоколебания. Параметры автоколебаний на входе нелинейного элемента определяются в точке пересечения годографов: частота из W лч (jω), а амплитуда из W нэ -1 (A). Исследование нелинейных систем возможно по логарифмическим частотным характеристикам (метод шаблонов). Метод гармонического баланса позволяет вести синтез нелинейных САУ на обеспечение требуемых показателей качества меняя параметры или линейной части, или нелинейного элемента.

Пример

Определить возможную частоту автоколебаний при введении в САУ, имеющей ЛЧХ вида (рисунок 16), однозначной нелинейности в виде двухпозиционного реле.

Рисунок 16 - ЛЧХ линейной части

Решение Известно, что характеристика - 1/W нэ (jω,А) однозначного нелинейного элемента (двухпозиционного реле) полностью располагается на отрицательной действительной полуоси, поэтому а.ф.х. линейной части W лч (jω) может ее пересечь только при угле -180°. Частота возможных автоколебаний определяется по W лч (jω), а л.ф.х. (рис.7.8) показывает, что фазовый угол сдвига -180° происходит на частоте ω = 300 рад/с. Это и есть возможная частота автоколебаний при введении в САУ однозначной нелинейности.

Метод гармонической линеаризации используется для анализа переходных режимов работы, оценки устойчивости системы, возможности возникновения периодических колебаний.

3) Метод статистической линеаризации .

Метод основан на замене нелинейного преобразования процессов статистически эквивалентными им линейным преобразованиями. Нелинейный элемент заменяется линейным эквивалентом (рисунок 17). В результате замены система линеаризуется, что позволяет использовать методы исследования линейных систем.

Замена нелинейного преобразования линейным является приближенной и справедливой лишь в некоторых отношениях. Поэтому не существует однозначной эквивалентности при использовании различных критериев.

В частности, если нелинейность определяется безинерционной зависимостью вида

используется два критерия эквивалентности.

Рисунок 17

Первый критерий предполагает равенство на выходе нелинейного элемента и его линейного эквивалента математических ожиданий и дисперсий процессов.

Второй критерий – минимум среднего квадрата разности процессов на выходе нелинейного элемента и его линейного эквивалента.

Процесс на входе и выходе нелинейного элемента представим в виде:

где ─ математическое ожидание процесса на выходе НЭ;

─ центрированная случайная составляющая.

Процесс на выходе линейного эквивалента представляется в следующем виде:

где ─ коэффициент передачи линейного эквивалента по математическому ожиданию; ─ коэффициент передачи по центрированной случайной составляющей.

Воспользуемся первым критерием эквивалентности:

Из этих уравнений находим

где ─ плотность вероятности процесса на входе нелинейного элемента.

Коэффициент передачи линейного эквивалента по центрированной случайной составляющей (по первому критерию).

По второму критерию эквивалентности:

Для определения и , при которых выполняется условие эквивалентности, найдем частные производные и приравняем их нулю:

При расчете этих коэффициентов полагают, что распределение на входе нормальное:

Определив величины

для типовых нелинейностей, заменяют последние коэффициентами передачи линейного эквивалента и анализируют систему линейными методами.

Для основных типов нелинейностей и нормальном распределении входного процесса коэффициенты рассчитаны и представлены в виде табличных значений. В частности, для характеристики релейного типа (рис.19)

Рисунок 19 - Характеристика релейного типа:

коэффициенты равны.

Существует точные и приближенные методы исследования нелинейных систем к числу точных методов относятся методы фазовых траекторий, точечных преобразований, частотный метод Попова, метод сечений пространства параметров, метод припасовывания, к приближенным методам относится метод гармонической линеаризации.

Основы метода фазовых траекторий

Метод фазовых траекторий заключается в том, что поведение исследуемой нелинейной системы рассматривается и описывается не во временной области (в виде уравнений процессов в системе), а в фазовом пространстве системы (в виде фазовых траекторий).

Состояние нелинейной системы автоматического управления характеризуется с использованием фазовых координат системы

задающих вектор состояния системы в фазовом пространстве системы

Y (y1, y2, y3,...yn).

При введении в рассмотрение фазовых координат нелинейное дифференциальное уравнение порядка n для свободного процесса в нелинейной системе

преобразуется к системе из n дифференциальных уравнений первого порядка

В ходе процесса в системе фазовые координаты yi изменяются и вектор состояния системы Y описывает годограф в n– мерном фазовом пространстве системы (рис. 56). Годограф вектора состояния (траектория движения изображающей точки M, соответствующей концу вектора) есть фазовая траектория системы. Вид фазовой траектории однозначно связан с характером процесса в системе. Поэтому о свойствах нелинейной системы можно судить по ее фазовым траекториям.

Уравнение фазовой траектории может быть получено из приведенной выше системы уравнений первого порядка, связывающих фазовые координаты и учитывающих свойства системы, путем исключения времени. Фазовая траектория не отображает время процессов в системе.

Связь между фазовой траекторией y(x) и процессом x(t) поясняет рис. 57. Фазовая траектория построена в фазовых координатах 0XY, где x – выходная величина системы, y – скорость изменения выходной величины (первая производная x’). Переходный процесс x(t) построен в координатах x–t (выходная величина – время).

Метод точечных преобразований поверхностей позволяет определить всевозможные виды движения (свободные колебания) нелинейных динамических систем после любых начальных отклонений. Метод развит для анализа и синтеза движений систем, описываемых дифференциальными уравнениями невысокого порядка (второго, третьего), а также для системы с релейным управлением при учете запаздывания.

Замена производится по участкам, для каждого из которых нелинейная часть характеристики представляется линейным отрезком. Это дает возможность получить интегрируемое линейное дифференциальное уравнение, приближенно отражающее процесса в пределах данного участка. Для системы, описываемой дифференциальным уравнением второго порядка, ход расчета можно показать на фазовой плоскости, по осям которой откладываются исследуемая переменная л: и ее производная по времени у. Решение динамической задачи сводится к изучению точечного преобразования координатной полуоси в самое себя.

Рис.10.7. Метод точечных преобразований

Частотный метод румынского ученого В.М. Попова, предложенный в 1960 году, решает задачу об абсолютной устойчивости системы с одной однозначной нелинейностью, заданной предельным значением коэффициента передачи k нелинейного элемента. Если в системе управления имеется лишь одна однозначная нелинейность z=f(x), то, объединив вместе все остальные звенья системы в линейную часть, можно получить ее передаточную функцию Wлч(p), т.е. получить расчетную схему рис.7.1.
Ограничений на порядок линейной части не накладывается, т.е. линейная часть может быть любой. Очертание нелинейности может быть неизвестным, но она должна быть обязательно однозначной. Необходимо лишь знать, в пределах какого угла arctg k (рис. 7.2) она расположена, где к - предельный (наибольший) коэффициент передачи нелинейного элемента.

Рис.7.2. Характеристика нелинейного элемента

Графическая интерпретация критерия В.М.Попова связана с построением а.ф.х. видоизмененной частотной характеристики линейной части системы W*(jω), которая определяется следующим образом:
W*(jω) = Re WЛЧ(jω) + Im WЛЧ(jω),
где Re WЛЧ(jω) и Im WЛЧ(jω) - соответственно действительная и мнимая части линейной системы.
Критерий В.М.Попова может быть представлен или в алгебраической, или частотной форме, а также для случаев устойчивой и неустойчивой линейной части. Чаще используется частотная форма.
Формулировка критерия В.М.Попова в случае устойчивой линейной части: для установления абсолютной устойчивости нелинейной системы достаточно подобрать такую прямую на комплексной плоскости W*(jω), проходящую через точку (, j0), чтобы вся кривая W*(jω) лежала справа от этой прямой. Условия выполнения теоремы показаны на рис. 7.3.

Рис. 7.3. Графическая интерпретация критерия В.М. Попова для абсолютно устойчивой нелинейной системы

На рис. 7.3 приведен случай абсолютной устойчивости нелинейной системы при любой форме однозначной нелинейности. Таким образом, для определения абсолютной устойчивости нелинейной системы по методу В.М. Попова необходимо построить видоизмененную частотную характеристику линейной части системы W*(jω), определить предельное значение коэффициента передачи k нелинейного элемента из условия и через точку (-) на вещественной оси комплексной плоскости провести некоторую прямую так, чтобы характеристика W*(jω) лежала справа от этой прямой. Если такую прямую провести нельзя, то это значит, что абсолютная устойчивость для данной системы невозможна. Очертание нелинейности может быть неизвестным. Критерий целесообразно применять в случаях, когда нелинейность может в процессе работы САУ изменяться, или ее математическое описание неизвестно.

Метод припасовывания нашел свое применение при построении фазовых портретов нелинейных систем, которые могут быть представлены в виде линейной и нелинейной частей (рис. 11.10), причем линейная часть является системой второго порядка, а нелинейная часть характеризуется кусочно­линейной статической характеристикой.

линеиная часть

нелинейная часть

Рис. 11.10 Структурная схема нелинейной системы

Согласно этому методу фазовая траектория строится по частям, каждой из которых соответствует линейный участок статической характеристики. На таком рассматриваемом участке система линейна и ее решение может быть найдено непосредственным интегрированием уравнения для фазовой траекто­рии этого участка. Интегрирование уравнения при построении фазовой траектории производится до тех пор, пока последняя не выйдет на границу следующего участка. Значения фазовых координат в конце каждого участка фазовой траектории являются начальными условиями для решения уравнения на сле­дующем участке. В этом случае говорят, что начальные условия припасовываются, т.е. конец преды­дущего участка фазовой траектории является началом следующего. Граница между участками называ­ется линией переключения.

Таким образом, построение фазового портрета методом припасовывания производится в следую­щей последовательности:

выбираются или задаются начальные условия;

интегрируется система линейных уравнений для того линейного участка, на который попали на­чальные условия, до момента выхода на границу следующего участка;

производится припасовывание начальных условий.

Метод гармонической линеаризации

Общих универсальных методов исследования нелинейных систем не существует - слишком велико разнообразие нелинейностей. Однако, для отдельных видов нелинейных систем разработаны эффективные методы анализа и синтеза.

• Метод гармонической линеаризации предназначен для представления нелинейной части системы некоторой эквивалентной передаточной функцией, если сигналы в системе могут рассматриваться, как гармонические.

• Этот метод может быть эффективно использован для исследования периодических колебаний в автоматических системах, в том числе, условий отсутствия этих колебаний, как вредных.

Характерным для метода гармонической линеаризации является рассмотрение одного единственного нелинейного элемента. НЭ можно разделить на статические и динамические . Динамические НЭ описываются нелинейными дифференциальными уравнениями и являются гораздо более сложными. Статические НЭ описывают-ся функцией F(x).