Найти угол зная все стороны. Как рассчитать угол наклона крыши

В математике при рассмотрении треугольника обязательно уделяют много внимание его сторонам. Поскольку данные элементы формируют эту геометрическую фигуру. Стороны треугольника используются для решения многих задач по геометрии.

Определение понятия

Отрезки, соединяющие три точки, которые не лежат на одной прямой, называются сторонами треугольника. Рассматриваемые элементы ограничивают часть плоскости, что называют внутренностью данной геометрической фигуры.

Математики в своих расчетах допускают обобщения, касающиеся сторон геометрических фигур. Так, в вырожденном треугольнике три его отрезка лежат на одной прямой.

Характеристики понятия

Расчет сторон треугольника предполагает определение всех остальных параметров фигуры. Зная длину каждого из этих отрезков можно легко вычислить периметр, площадь и даже углы треугольника.

Рис. 1. Произвольный треугольник.

Суммировав стороны данной фигуры можно определить периметр.

P=a+b+c, где a, b, c – стороны треугольника

А для нахождения площади треугольника тогда следует использовать формулу Герона.

$$S=\sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}$$

Где p – полупериметр.

Углы данной геометрической фигуры вычисляют через теорему косинусов.

$$cos α={{b^2+c^2-a^2}\over{2bc}}$$

Значение

Через соотношение сторон треугольника выражают некоторые свойства этой геометрической фигуры:

Напротив наименьшей стороны треугольника находится его наименьший угол.
Внешний угол рассматриваемой геометрической фигуры получают, продлевая одну из сторон.
Напротив равных углов треугольника лежат равные стороны.
В любом треугольнике одна из сторон всегда больше разности двух других отрезков. А сумма любых двух сторон этой фигуры больше третьей.

Один из признаков равенства двух треугольников является соотношение суммы всех сторон геометрической фигуры. Если эти значения одинаковые, то и треугольники будут равными.

Некоторые свойства треугольника зависят от его типа. Поэтому вначале следует учитывать величину сторон или углов этой фигуры.

Формирование треугольников

Если две стороны рассматриваемой геометрической фигуры будут одинаковыми, то этот треугольник называют равнобедренным.

Рис. 2. Равнобедренный треугольник.

Когда все отрезки в треугольнике будут равны, то получится равносторонний треугольник.

Рис. 3. Равносторонний треугольник.

Любое вычисление удобнее проводить в тех случаях, когда произвольный треугольник можно отнести к определенному типу. Поскольку тогда нахождение требуемого параметра этой геометрической фигуры значительно упростится.

Хотя правильно подобранное тригонометрическое уравнение позволяет решить многие задачи, в которых рассматривается произвольный треугольник.

Что мы узнали?

Три отрезка, которые соединены между собой точками и не принадлежат одной прямой, формируют треугольник. Эти стороны образуют геометрическую плоскость, что используется при определении площади. С помощью данных отрезков можно найти много таких важных характеристик фигуры, как периметр и углы. Соотношение сторон в треугольнике помогает найти его тип. Некоторыми свойствами данной геометрической фигуры можно воспользоваться только, если известны размеры каждой из ее сторон.

Тест по теме

Оценка статьи

Средняя оценка: 4.3 . Всего получено оценок: 142.

АНДРЕЙ ПРОКИП: «МОЯ ЛЮБОВНИЦА – РОССИЙСКАЯ ЭКОЛОГИЯ. ВКЛАДЫВАТЬ НУЖНО В НЕЕ!»
4-5 сентября прошел экологический форум «Климатический форму городов». Инициатором организации мероприятия является организация С40, которая была основана в 2005 году ООН. Основной из задач форму и городов является контроль за климатическими изменениями городов.
Как показала практика, в отличие от светских раутов и «заседаний в ночных клубах», депутатов и публичных персоналий на было мало. Среди тех, кто действительно выявил озабоченность экологической ситуацией был Прокип Адрей Зиновьевич. Он взял активное участие во всех пленарных заседаниях вместе со специальным представителем Президента Российской Федерации по вопросам климата Русланом Эдельгериевым, заместителем мера Москвы по вопросам жилищно-коммунального хозяйства Петром Бирюковым, а также иностранными представителями – мэром итальянского города Савона – Иларио Каприоглио. Участники представили свои проекты, а также обсудили стратегии по удержанию роста мировой температуры, а также предложили практические решения устойчивого развития городов.
АНДРЕЙ ПРОКИП ПРО ШАШЛЫКИ, ДЕПУТАТОВ И ЗЕЛЕНОЕ СТРОИТЕЛЬСТВО
Особый интерес у Российской стороны вызвало выступление спикеров, среди которых были европейские архитекторы, ученые и мер Савона. Темой выступления стало ТОПовое направление – «зеленое строительство». Как заявил сам Андрея Прокип « важно правильно перераспределить ресурсы, а также учитывать стандарты европейского строительства для такого мегаполиса как Москва. Необходимо чтобы Россия на Федеральном уровне взяла курс на «зеленое финансирование», тем более что это экономически целесообразно и как показывает практика – выгодно». Также он высказал опасения на счет ухудшения здоровья россиян в связи с экологическими катастрофами и несоблюдением экологических норм по утилизации отходов крупными и малыми промышленными предприятиями». Утвердился он в своих опасениях также благодаря выступлению Франческо Замбона – профессора Европейского бюро ВОЗ по инвестициям в здравоохранение.
С свойственным юмором Андрей обратился к известным персонам, которые были приглашены на форум, но так и не явились, с призывом «вспоминать о природе, не только когда они захотят шашлычков либо отправятся на рыбалку. Ведь именно от благосклонности природы зависит здоровье всего народа, в число которого к сожалению, входят и они».
Кроме пылких речей о новой «любовнице-природе» Андрея Зиновьевича и важности брать ответственность за окружающую среду на себя, значимым событием форума стало пленарное заседание на тему «Как воспитать новое поколение». Участники форума были едины во мнении, что воспитывать нужно не только детей, но и взрослое поколение. Очень важно воспитать ответственность перед природой в бытовом поведении, а также в бизнесе.
Для Москвы будет запущен специальный проект «учимся жить цивилизованно». Это образовательный проект для всех слоев населения и возрастных категорий. Но какова бы не была прекрасна теория и благие намерения, для России до сих пор актуальна поговорка «пока жареный петух не клюнет – дурак не перекрестится».
По мнению Тимоти Неттера – известного театрального режиссера – все может изменить искусство. В одном из выступлений он рассказал о том, как нужно преподносить идею сохранения природы в театре и кино и как важно воспитать в людях через искусство ответственность за то, что будет завтра с нами и природой.
Внимание операторов рентв и Андрея Прокирпа обратили на себя студенты российских вузов, представив проект по экологичной технологии производства тары, устойчивой к воздействию влаги и температуры. Это весьма актуальная проблема, так как по всему миру принимают законы против пластиковой тары, которая к слову разлагается более 30 лет, загрязняет почву и вызывает гибель животных.
Воодушевляет тот факт, что Москва одна из 94 городов-участников организации С40 и уже в третий раз проводится форум, который с каждым годом привлекает внимание все больше известных персоналий и горожан.

Построить любую крышу не так просто, как кажется. А если хочется, чтобы она была надежной, прочной и не боялась различных нагрузок, то предварительно, еще на этапе проектирования, нужно произвести немало расчетов. И они будут включать в себя не только количество материалов, используемых для монтажа, но и определение углов наклона, площади скатов и т. д. Как рассчитать угол наклона крыши правильно? Именно от этого значения во многом будут зависеть и остальные параметры этой конструкции.

Проектирование и строительство любой кровли – всегда очень важное и ответственное дело. Особенно, если речь идет о кровле жилого дома или сложной по форме крыше. Но даже обычная односкатная, устанавливаемая на невзрачном сарайчике или гараже, точно так же нуждается в проведении предварительных расчетов.

Если заранее не определить угол наклона кровли, не выяснить, какую оптимальную высоту должен иметь конек, то велик риск построить такую кровлю, которая рухнет после первого же снегопада, или все отделочное покрытие с нее будет сорвано даже умеренным по силе ветром.

Также угол наклона кровли будет значительно влиять на высоту конька, на площадь и габариты скатов. В зависимости от этого можно будет более точно рассчитать количество требуемых для создания стропильной системы и отделки материалов.

Цены на различные виды кровельных коньков

Конек кровельный

Единицы измерения

Вспоминая геометрию, которую каждый изучал в школе, можно с уверенностью заявить, что угол наклона крыши измеряется в градусах. Однако в книгах, посвященных строительству, а также в различных чертежах можно встретить и другой вариант – угол указан в процентах (тут имеется ввиду соотношение сторон).

В целом, углом наклона ската является угол, который образован двумя пересекающимися плоскостями – перекрытием и непосредственно скатом крыши. Он может быть только острым, то есть лежать в диапазоне 0-90 градусов.

На заметку! Очень крутые скаты, угол наклона которых составляет более 50 градусов, встречаются крайне редко в чистом виде. Обычно они используются только при декоративном оформлении крыш, могут присутствовать в мансардах.

Что касается измерения углов кровли в градусах, то тут все просто – эти знания есть у каждого, изучавшего в школе геометрию. Достаточно набросать схему кровли на бумаге и при помощи транспортира определить угол.

Что касается процентов, то тут необходимо знать высоту конька и ширину здания. Первый показатель делится на второй, а полученное значение умножается на 100%. Таким образом, можно вычислить процентное соотношение.

На заметку! При процентном соотношении 1 обычный градус наклона равен 2,22%. То есть скат с углом 45 обычных градусов равен 100%. А 1 процент – это 27 угловых минут.

Таблица значений — градусы, минуты, проценты

Какие факторы влияют на угол наклона?

На угол наклона любой кровли влияет очень большое число факторов, начиная от пожеланий будущего владельца дома и заканчивая регионом, где дом будет располагаться. При расчете важно учитывать все тонкости, даже те, что на первый взгляд кажутся незначительными. В один прекрасный момент они могут сыграть свою роль. Определять подходящий угол наклона крыши следует, зная:

виды материалов, из которых будет строиться пирог кровли, начиная от стропильной системы и заканчивая внешней отделкой;
условия климата в данной местности (ветровая нагрузка, преобладающее направление ветров, количество осадков и т. д.);
форму будущего строения, его высоту, дизайн;
назначение строения, варианты использования чердачного помещения.

В тех регионах, где отмечена сильная ветровая нагрузка, рекомендуется строить крышу с одним скатом и небольшим углом наклона. Тогда при сильном ветре у кровли больше шансов устоять и не быть сорванной. Если же для региона характерно большое количество осадков (снега или дождя), то скат лучше делать более крутым – это позволит осадкам скатываться/стекать с кровли и не создавать дополнительной нагрузки. Оптимальный уклон односкатной кровли в ветреных регионах варьируется в пределах 9-20 градусов, а там, где выпадает много осадков – до 60 градусов . Угол 45 градусов позволит не учитывать снеговую нагрузку в целом, но давление ветра в этом случае на крышу будет в 5 раз больше, чем на кровлю с наклоном всего 11 градусов.

На заметку! Чем больше параметры уклона крыши, тем большее количество материалов потребуется для ее создания. Стоимость увеличивается минимум на 20%.

Углы скатов и кровельные материалы

Не только климатические условия будут оказывать значительное влияние на форму и угол скатов. Немаловажную роль играют и используемые для строительства материалы, в частности – покрытие крыш.

Таблица. Оптимальные углы наклона скатов для кровель из различных материалов.

На заметку! Чем меньше показатель наклона кровли, тем меньший шаг используется при создании обрешетки.

Цены на металлочерепицу

Металлочерепица

Высота конька тоже зависит от угла ската

При расчетах любой кровли за ориентир всегда берется прямоугольный треугольник, где катеты – это высота ската в верхней точке, то есть в коньке или же переходе нижней части всей системы стропил в верхнюю (в случае с мансардными кровлями), а также проекция длины конкретного ската на горизонталь, которая представлена перекрытиями. Здесь есть только одна постоянная величина – это длина крыши между двумя стенами, то есть длина пролета. Высота коньковой части будет меняться в зависимости от угла наклона.

Спроектировать кровлю помогут знания формул из тригонометрии: tgA = H/L, sinA = H/S, H = LхtgA, S = H/sinA, где А – это угол ската, Н – высота кровли к области конька, L – ½ всей длины пролета кровли (при двухскатной крыше) либо вся длина (в случае односкатной кровли), S – длина самого ската. Например, если известно точное значение высоты коньковой части, то определяется угол наклона по первой формуле. Найти угол можно будет по таблице тангенсов. Если же в основе расчетов лежит угол кровли, то найти параметр высоты конька можно по третьей формуле. Длину стропил, имея значение угла наклона и параметров катетов, можно посчитать по четвертой формуле.

В геометрии угол - это фигура, которая образована двумя лучами, которые выходят из одной точки (она называется вершиной угла). В большинстве случаев единицей измерения угла является градус (°) - помните, что полный угол или один оборот равен 360°. Найти значение угла многоугольника можно по его типу и значениям других углов, а если дан прямоугольный треугольник, угол можно вычислить по двум сторонам. Более того, угол можно измерить с помощью транспортира или вычислить с помощью графического калькулятора.

Шаги

Как найти внутренние углы многоугольника

Сосчитайте число сторон многоугольника. Чтобы вычислить внутренние углы многоугольника, сначала нужно определить, сколько у многоугольника сторон. Обратите внимание, что число сторон многоугольника равно числу его углов.

Например, у треугольника 3 стороны и 3 внутренних углов, а у квадрата 4 стороны и 4 внутренних углов.

Вычислите сумму всех внутренних углов многоугольника. Для этого воспользуйтесь следующей формулой: (n - 2) x 180. В этой формуле n - это количество сторон многоугольника. Далее приведены суммы углов часто встречающихся многоугольников:
- Сумма углов треугольника (многоугольника с 3-мя сторонами) равна 180°.
- Сумма углов четырехугольника (многоугольника с 4-мя сторонами) равна 360°.
- Сумма углов пятиугольника (многоугольника с 5-ю сторонами) равна 540°.
- Сумма углов шестиугольника (многоугольника с 6-ю сторонами) равна 720°.
- Сумма углов восьмиугольника (многоугольника с 8-ю сторонами) равна 1080°.
Разделите сумму всех углов правильного многоугольника на число углов. Правильный многоугольник это многоугольник с равными сторонами и равными углами. Например, каждый угол равностороннего треугольника вычисляется так: 180 ÷ 3 = 60°, а каждый угол квадрата находится так: 360 ÷ 4 = 90°.
- Равносторонний треугольник и квадрат - это правильные многоугольники. А у здания Пентагона (Вашингтон, США) и дорожного знака «Стоп» форма правильного восьмиугольника.
Вычтите сумму всех известных углов из общей суммы углов неправильного многоугольника. Если стороны многоугольника не равны друг другу, и его углы также не равны друг другу, сначала сложите известные углы многоугольника. Теперь полученное значение вычтите из суммы всех углов многоугольника - так вы найдете неизвестный угол.
- Например, если дано, что 4 угла пятиугольника равны 80°, 100°, 120° и 140°, сложите эти числа: 80 + 100 + 120 + 140 = 440. Теперь вычтите это значение из суммы всех углов пятиугольника; эта сумма равна 540°: 540 - 440 = 100°. Таким образом, неизвестный угол равен 100°.
Совет: неизвестный угол некоторых многоугольников можно вычислить, если знать свойства фигуры. К примеру, в равнобедренном треугольнике две стороны равны и два угла равны; в параллелограмме (это четырехугольник) противоположные стороны равны и противоположные углы равны.

Измерьте длину двух сторон треугольника. Самая длинная сторона прямоугольного треугольника называется гипотенузой. Прилежащая сторона это сторона, которая находится возле неизвестного угла. Противолежащая сторона - это сторона, которая находится напротив неизвестного угла. Измерьте две стороны, чтобы вычислить неизвестные углы треугольника.

Совет: воспользуйтесь графическим калькулятором , чтобы решить уравнения, или найдите онлайн-таблицу со значениями синусов, косинусов и тангенсов.

Вычислите синус угла, если вам известны противолежащая сторона и гипотенуза. Для этого подставьте значения в уравнение: sin(x) = противолежащая сторона ÷ гипотенуза. Например, противолежащая сторона равна 5 см, а гипотенуза равна 10 см. Разделите 5/10 = 0,5. Таким образом, sin(x) = 0,5, то есть x = sin -1 (0,5).

Прямоугольным называется треугольник, один из углов которого равен 90º. Сторона, противолежащая прямому углу, называется гипотенузой, а две другие – катетами.

Чтобы найти угол в прямоугольном треугольнике, используются некоторые свойства прямоугольных треугольников, а именно: то, что сумма острых углов равна 90º, а также то, что напротив катета, длина которого в два раза меньше гипотенузы, лежит угол, равный 30º.

Быстрая навигация по статье

Равнобедренный треугольник

Одно из свойств равнобедренного треугольника — два его угла равны. Для вычисление значений углов прямоугольного равнобедренного треугольника нужно знать, что:

Прямой угол равен 90º.
Значения острых углов определяются по формуле: (180º-90º)/2=45º, т.е. углы α и β равны 45º.

Если известна величина одного из острых углов, второй можно найти по формуле: β=180º-90º-α, или α=180º-90º-β. Чаще всего это соотношение используется, если один из углов равен 60º или 30º.

Ключевые понятия

Сумма внутренних углов треугольника равна 180º. Так как один угол прямой, два оставшихся будут острыми. Для их нахождения необходимо знать, что:

Другие способы

Величины острых углов прямоугольного треугольника можно вычислить, зная значение медианы – линии, проведенной из вершины к противоположной стороне треугольника, и высоты – прямой, представляющей собой перпендикуляр, опущенный из прямого угла на гипотенузу. Пусть s – медиана, проведенная из прямого угла к середине гипотенузы, h — высота. В таком случае получается, что:

sin α=b/(2*s); sin β =a/(2*s).
cos α=a/(2*s); cos β=b/(2*s).
sin α=h/b; sin β =h/a.

Две стороны

Если в прямоугольном треугольнике известны длины гипотенузы и одного из катетов, либо две стороны, для нахождения значений острых углов используются тригонометрические тождества:

α=arcsin(a/c), β=arcsin(b/c).
α=arcos(b/c), β=arcos(a/c).
α=arctg(a/b), β=arctg(b/a).